1. 概述 于 代数拓扑 中, 可缩空间 是恒等映射可连续变形为常值映射的 拓扑空间, 即在 同伦等价 意义下与一点相同的空间. 2. 定义 定义 1 (可缩空间) 非空 拓扑空间 称为 可缩空间, 当存在 , 使恒等映射 与常值映射 同伦. 3. 例子 例子 2 (星形子集) 设 非空, 带 子空间拓扑, 且存在 使每条线段 都包含于 . 则 是恒等映射到常值映射的 同伦, 故 是 可缩空间. 特别地, 与闭球均可缩. 4. 相关性质 命题 3 (可缩空间的道路连通性) 每个 可缩空间 都是 道路连通空间. 证明 4 (可缩空间的道路连通性) 设 是 可缩空间 上从恒等映射到 的 同伦. 对每个 , 是连接 与 的 道路. 将这条道路与从 到 的道路反向后连接, 即连接任意 . 命题 5 (一点空间判别) 非空 拓扑空间 是 可缩空间, 当且仅当 与一点空间 同伦等价. 证明 6 (一点空间判别) 充分性 ( ) 若 是 可缩空间, 取到一点的映射 与选取收缩点的映射 . 则 是恒等映射, 与恒等映射 同伦, 故为 同伦等价. 必要性 ( ) 若 有同伦逆 , 则 是常值映射且与 同伦, 所以 是 可缩空间. 5. 相关概念 形变收缩 同伦等价 道路连通空间 6. 术语翻译 中文英文可缩空间contractible space收缩同伦contraction 代数拓扑