同伦提升

1. 概述

于 代数拓扑 中, 同伦提升 把底空间中的 同伦 搬到 覆盖映射 的总空间. 它保证提升不仅对单条道路存在, 也随参数连续变化.

2. 定义

定义 1 (同伦提升)

设 为 覆盖映射, 为 拓扑空间, 为 同伦, . 连续映射 称为 的 同伦提升, 当 .

3. 例子

例子 2 (实值相位给出的提升)

设 为 拓扑空间, 为 连续映射. 对 覆盖映射 , 本身就是 的 同伦提升.

4. 相关性质

定理 3 (覆盖映射的同伦提升性质)

设 为 覆盖映射, 为任意 拓扑空间, 为 同伦. 若 连续映射 满足 , 则存在唯一 同伦提升 , 满足 ：

证明 4 (覆盖映射的同伦提升性质)

存在性

对每个 , 由 道路提升的存在唯一性 提升 , 起点取 . 验证这些提升合成 连续映射：固定 , 有限细分 使每段的像落在一个均匀覆盖邻域. 由每段的紧性与 的连续性, 可缩小 的邻域 , 使 仍落在该邻域中. 利用 的连续性缩小 , 第一段可使用同一层的逆; 依次在各分点缩小 , 后续各段也使用固定层的逆. 有限段粘接表明提升在 上连续, 因而得到 同伦提升.

唯一性

两个 同伦提升 在每条 上都是起点相同的 道路提升, 由 道路提升的存在唯一性 处处相等.

推论 5 (道路同伦保持提升终点)

设 为 覆盖映射, 底空间中两条 道路 相对端点 道路同伦. 则从同一点出发的两个 道路提升 终点相同.

证明 6 (道路同伦保持提升终点)

由 覆盖映射的同伦提升性质, 从第一条 道路提升 出发提升给定 道路同伦. 两端的轨迹分别位于固定纤维中, 而纤维离散, 区间连通, 所以端点轨迹恒定. 最后一条道路由提升唯一性就是第二条提升.

5. 相关概念

• 道路提升
• 道路同伦
• 泛覆盖

6. 术语翻译

中文	英文
同伦提升	homotopy lifting
同伦提升性质	homotopy lifting property

代数拓扑