泛覆盖

1. 概述

于 代数拓扑 中, 泛覆盖 是总空间没有非平凡基点闭路类的连通 覆盖映射. 在适当局部条件下, 其他连通覆盖可以由它和 基本群 的子群构造.

2. 定义

定义 1 (泛覆盖)

设 为 道路连通空间. 覆盖映射 称为 泛覆盖, 当 道路连通, 且对某个 , 基本群 是平凡群. 后一条件在道路连通空间中不依赖所选基点.

3. 例子

例子 2 (圆与环面的泛覆盖)

指数 覆盖映射 , 是圆的 泛覆盖：实线道路连通, 基于 的闭路可通过 相对端点收缩. 同理, 坐标逐一取指数的映射 是环面的泛覆盖, 这里使用 积拓扑.

4. 相关性质

定理 3 (泛覆盖的存在判别)

设 为非空 道路连通空间, 且每点有道路连通的开邻域基. 则 存在 泛覆盖, 当且仅当每个 都有开邻域 , 使包含映射诱导的 基本群 同态 为零. 这一局部条件通常称为半局部单连通条件.

证明 4 (泛覆盖的存在判别)

充分性 ( )

设 为 泛覆盖. 在 的均匀覆盖邻域内, 基于 的闭路可以提升为一层中的闭路. 总空间的 基本群 平凡, 故提升闭路可收缩; 投影其收缩即证明原闭路在 中平凡.

必要性 ( )

固定 , 取所有从 出发的 道路 的相对端点 道路同伦 类, 按终点投影到 . 对道路类 和终点附近道路连通且闭路在 中平凡的开集 , 取 为基本邻域. 局部道路连通性保证这些集合构成拓扑基, 局部平凡条件保证终点投影在每个这样的基本邻域上是双射; 依此拓扑它是 同胚, 且同一 上的层要么相同要么不交. 因而投影是 覆盖映射. 逐段截取 给出从常值道路类到 的道路, 所以总空间道路连通. 总空间中的基点闭路投影为 , 其提升终点为 ; 闭合性说明 在 中相对端点可缩. 由 覆盖映射的同伦提升性质 提升这个收缩, 即得总空间闭路的收缩. 故构造的是 泛覆盖.

5. 相关概念

• 覆盖映射
• 覆盖变换
• 基本群
• 同伦提升

6. 术语翻译

中文	英文
泛覆盖	universal covering
泛覆盖空间	universal covering space

代数拓扑