通常排序

1. 概述

通常排序 是 自然数、整数、有理数 与 实数 上沿用的标准 序关系, 亦称 自然排序. 本页分别给出各数系中的严格序 , 并说明它与非严格序 的对应.

2. 定义

2.1. 自然数 上的通常排序

定义 1 ( 上的通常排序 1)

设 为按 von Neumann 构造的 自然数 集合, 其 元素 是有限 序数. 定义其上的 序关系 为 通常排序, 当：

其中 是元素属于集合的 关系.

记号 2 (非零自然数与后继)

在 上的通常排序 1 中, 令 , 并写后继运算为 .

定义 3 ( 上的通常排序 2)

设 为 自然数 集合. 定义其上的 序关系 为 通常排序, 当：

2.2. 整数 上的通常排序

定义 4 ( 上的通常排序)

设 为 整数 集合. 对任意 , 称 在 通常排序 下小于 , 当且仅当存在 正整数 使 .

记号 5 (正整数与整数通常排序)

在 上的通常排序 中, 表示所有 正整数 的集合, 即非零 自然数 在 中的标准像. 此排序写为：

2.3. 有理数 上的通常排序

定义 6 ( 上的通常排序)

设 为 有理数 集合, 为 整数, 为 正整数. 定义 上的 序关系 为 通常排序, 当：

右侧采用整数上的通常排序.

2.4. 实数 上的通常排序

定义 7 ( 上的通常排序)

设 为 实数 集合, 其有序 域 结构中的非严格 序关系 为 . 定义严格序 为 通常排序, 当：

记号 8 (正实数)

在 上的通常排序 下, 表示所有 正实数 的集合.

注记 9 (关于 上通常排序的定义)

减法是 实数 域 中的运算, 因而对任意 , 差 都存在. 稠密性 讨论的是当 时两者之间还存在另一个实数, 与差的存在性无关.

注记 10 ( 与 )

本页各数系的 序关系 表示 小于, 相应的 小于或等于 按以下对应使用. 对任意同一数系中的 , 有：

3. 例子

例子 11 (初步例子)

• 在 上的通常排序 1 下, , 因为 von Neumann 自然数 满足 ;
• 在 上的通常排序 下, , 因为 ;
• 在 上的通常排序 下, , 因为 .

4. 相关性质

命题 12 (自然数通常排序的等价刻画)

设 为 von Neumann 自然数, 则 上的通常排序 1 与 上的通常排序 2 等价, 即：

证明 13 (自然数通常排序的等价刻画)

对 自然数 使用 数学归纳法, 并采用递归加法 与 . 每个非零自然数都形如 , 这同样可由归纳法得到.

对 归纳. 当 时, 没有 . 假设结论对 成立, 若 , 则或者 , 此时 ; 或者 , 由归纳假设有 且 , 从而 , 其中 . 故结论对 成立.

写 , 其中 . 对 归纳证明 . 当 时, , 而 . 对任意 , 有 ; 因而若 , 则由递归加法有 . 因而对所有 成立, 特别地 .

5. 相关概念

• 序关系
• 小于
• 小于或等于
• 自然数
• 整数
• 有理数
• 实数

6. 术语翻译

中文	英文
通常排序	usual ordering
自然排序	natural ordering

序论