离散性

1. 概述

于一般拓扑中, 离散性 表示 拓扑空间 中每个点都可以被单独分离出来. 在 序论 中, 离散性则表示相邻 元素 之间没有其他元素.

2. 定义

定义 1 (拓扑空间的离散性)

设 为 拓扑空间. 称 满足 离散性, 或称其为离散拓扑空间, 当每个 单点集 都是 开集. 等价地：

定义 2 (全序中的离散性)

设 为 全序集. 称 满足 离散性, 当每个非最大 元素 都有紧邻的后继元, 且每个非最小元素都有紧邻的前驱元; 即相邻元素之间不存在第三个元素.

3. 例子

例子 3 (初步例子)

• 对任意 集合 , 幂集 构成的拓扑使 满足 离散性;
• 整数 集合 作为 实数 空间的子集是离散的, 因为每个 都可由开区间 单独分离;
• 自然数 与整数上的 通常排序 满足 离散性, 而 有理数 上的通常排序不满足离散性.

4. 相关性质

命题 4 (离散拓扑空间的子集皆为开闭集)

设 为满足 离散性 的 拓扑空间. 对任意 子集 ：

1. 为 开集;
2. 为 闭集.

证明 5 (离散拓扑空间的子集皆为开闭集)

1. 由 及 可知 , 故 为开集.
2. 由于 , 由第 1 条知 为开集, 故 为闭集.
   

命题 6 (离散空间的子空间仍离散)

设 为满足 离散性 的 拓扑空间, . 则 所继承的拓扑为 , 因而 仍为离散拓扑空间.

5. 相关概念

• 拓扑空间
• 单点集
• 开集
• 闭集
• 稠密性

6. 术语翻译

中文	英文
离散性	discreteness
离散拓扑空间	discrete topological space

一般数学 拓扑性质