多元函数的极值

1. 概述

于 数学分析 中, 多元函数的极值 研究函数在一点附近的最大值和最小值. 全微分 给出一阶必要条件, 高阶导数与 Hessian 提供二阶判别.

2. 定义

定义 1 (多元函数的极值)

设 , 为 映射, . 若存在 的 邻域 , 使对所有 都有 , 则称 在 处有 局部极大值. 将不等号改为 时称为 局部极小值. 两者统称为局部极值.

记号 2 (多元函数的极值)

满足 的内点称为 多元函数的极值 的临界点.

3. 例子

例子 3 (严格极小值)

在 处取得严格局部极小值 .

例子 4 (鞍点)

在原点满足 , 但沿 轴取正值、沿 轴取负值, 因而原点不是局部极值.

4. 相关性质

命题 5 (极值的 Fermat 必要条件)

若 , 且 在 处可微并在 处取得局部极值, 则：

证明 6 (极值的 Fermat 必要条件)

对任意 , 一元函数 在 处取得局部极值, 因而其导数为零. 由 方向导数 与 全微分 的关系, 对所有 成立, 故 .

定理 7 (Hessian 二阶判别)

若 且 在 附近为 , 则正定的 Hessian 矩阵 给出严格局部极小值, 负定时给出严格局部极大值, 不定时给出鞍点.

5. 相关概念

• 全微分;
• 方向导数;
• 高阶导数与 Hessian;
• 多元 Taylor 公式;
• Lagrange 乘子法.

6. 术语翻译

中文	英文
局部极大值	local maximum
局部极小值	local minimum
临界点	critical point
鞍点	saddle point

数学分析