最小公倍数

1. 概述

于 环论 中, 环中的最小公倍数 是整除所有公倍数的公倍数. 它若存在, 只在相伴意义下唯一.

2. 定义

定义 1 (环中的最小公倍数)

设 为 整环, . 称 为这些元素的 环中的最小公倍数, 当：

1. 是 的 公倍数;
2. 每个公倍数 都满足 .

记号 2 (环中的最小公倍数)

选定 的一个 最小公倍数 后, 记为 .

3. 例子

例子 3 (整数中的最小公倍数)

在 整数环 中, 与 都是 与 的 最小公倍数.

4. 相关性质

命题 4 (最小公倍数在相伴意义下唯一)

设 为 整环. 若 与 都是 的 最小公倍数, 则 与 相伴.

证明 5 (最小公倍数在相伴意义下唯一)

由最小性, 且 , 故二者为 相伴元.

命题 6 (最小公倍数的理想刻画)

设 为 整环, . 则 是 的 最小公倍数 当且仅当：

证明 7 (最小公倍数的理想刻画)

左向右 ( )

若 是 最小公倍数, 则由 公倍数与主理想 有 . 对任意 , 是公倍数, 故 , 即 . 因而两理想相等.

右向左 ( )

若 , 则 属于每个 , 所以 是公倍数. 任意公倍数 属于该交, 从而 , 即 .

5. 相关概念

• 公倍数
• 最大公因数
• 相伴元

6. 术语翻译

中文	英文
最小公倍数	least common multiple