环直积

1. 概述

于 环论 中, 环直积 是在一族环的 Cartesian 积 上按分量定义运算所得的 环.

2. 定义

定义 1 (环直积)

设 为一族 环. 在 Cartesian 积 上定义：

称所得环为这族环的 直积, 其零元与幺元分别为 与 .

3. 例子

例子 2 (两个整数环的直积)

按分量运算构成 定义 1 (环直积), 其中 , 因而它不是 整环.

4. 相关性质

命题 3 (环直积的典范投影)

设 为 环, 则映射：

都是 环满同态, 且它们的 核 分别为 与 .

证明 4 (环直积的典范投影)

两个投影均按分量保持加法、乘法与幺元. 对任意 , 映至 ; 对任意 , 映至 , 故均为满射. 核由坐标条件直接得到.

命题 5 (两个环直积的理想)

设 为 环. 的每个 理想 都唯一地形如 , 其中 , .

证明 6 (两个环直积的理想)

存在性

设 , 令 与 . 因两个投影均为 环满同态, 且 . 对任意 , 可取 使 , 从而 ; 同理, 对任意 有 . 因此 , 即 . 反向包含由 的定义得到, 故 .

唯一性

若 , 则对两边分别应用典范投影得到 与 .

5. 相关概念

• Cartesian 积
• 理想
• 商环

6. 术语翻译

中文	英文
环直积	direct product of rings