环满同态

1. 概述

于 环论 中, 环满同态 是底层 映射 为 满射 的 环同态. 每个环满同态都由其 核 确定一个 商环, 并将该商环同构到陪域.

2. 定义

定义 1 (环满同态)

设 为 环, 为 环同态. 称 为 环满同态, 当 是 满射.

注记 2 (与范畴满同态的区别)

每个 环满同态 都是环的范畴中的 满同态, 但反之一般不成立; 例如包含映射 是交换环范畴中的满同态, 却不是底层集合之间的满射.

3. 例子

例子 3 (商环的典范投影)

设 为 环, 为 理想. 映射：

是 定义 1 (环满同态), 且其 核 为 .

例子 4 (模 投影)

对任意 , 映射：

是从 整数环 到 整数模 环 的 环满同态.

详情请参阅 环论中同态的例子.

4. 相关性质

命题 5 (环满同态的复合)

设 为 环, 与 为 定义 1 (环满同态), 则 复合 仍为环满同态.

证明 6 (环满同态的复合)

环同态的复合仍保持加法、乘法与幺元; 满射的复合仍为满射, 故 是 环满同态.

命题 7 (环满同态的像判别)

设 为 环同态. 则 为 定义 1 (环满同态) 当且仅当其 像 满足：

证明 8 (环满同态的像判别)

充分性 ( )

若 是 环满同态, 则对每个 都存在 使 , 因而 .

必要性 ( )

若 , 则每个 都属于 的像, 即存在 使 . 因此 是满射.

推论 9 (环满同态的商环表示)

设 为 定义 1 (环满同态), 其 核 为 , 则：

证明 10 (环满同态的商环表示)

由 环满同态 的定义、环的第一同构定理 以及 环满同态的像判别, 有 且 .

5. 相关概念

• 环同态
• 环单同态
• 环同构
• 商环

6. 术语翻译

中文	英文
环满同态	surjective ring homomorphism