环同态的核

1. 概述

于 环论 中, 环同态的 核 是被映至陪域零元的全部元素所构成的 理想. 它衡量 环同态 偏离 环单同态 的程度, 并决定第一同构定理中的 商环.

2. 定义

定义 1 (环同态的核)

设 为 环, 为 环同态. 称：

为 的 核.

3. 例子

例子 2 (商环投影的核)

设 为 环, 为 理想. 对典范投影：

其 环同态的核 满足 .

例子 3 (模 投影的核)

对任意 , 环满同态 的 环同态的核 为 .

4. 相关性质

命题 4 (环同态的核是理想)

设 为 环同态, 则 是 的 理想.

证明 5 (环同态的核是理想)

若 , 则 . 若 , 则 . 由 理想判别法, .

命题 6 (复合环同态的核)

设 与 为 环同态, 则：

1. ;
2. 若 为 环单同态, 则 .

证明 7 (复合环同态的核)

1. 若 , 则 , 故 .
2. 若 , 则 . 由 的单射性得 , 所以 ; 结合 (1) 得等式.
   

推论 8 (零核判别)

环同态 为 环单同态 当且仅当其 环同态的核 满足 .

证明 9 (零核判别)

这是 环单同态的零核判别.

5. 相关概念

• 环同态
• 环同态的像
• 环单同态
• 商环

6. 术语翻译

中文	英文
环同态的核	kernel of a ring homomorphism