Cartesian 积

1. 概述

于 集合论 中, 任意 集合 间的 Cartesian 积 (或称 直积) 是指以下集合：

更一般地, 我们也可以推广至多个集合间的乘积. 而在 范畴论 的观点下, 这恰好是 集合范畴 中的 积.

2. 定义

定义 1 (Cartesian 积)

设 为 集合, 它们之间的 Cartesian 积 (或称 直积) 被定义为以下 集合：

其中 表示 -元组.

定义 2 (集族的 Cartesian 积)

设有 集族 , 这些 间的 Cartesian 积 被定义为以下 集合：

其中 表示 一族元素.

3. 例子

例子 3 (两个有限集的 Cartesian 积)

设 与 , 则：

4. 相关性质

命题 4 (Cartesian 积的基本性质)

设 为 集合, 则：

1. ;
2. 若 为 有限集, 则 ;
3. 与 之间存在典范 双射.

证明 5 (Cartesian 积的基本性质)

4. 不存在以 空集 中元素为坐标的 -元组.
5. 对 的每个元素, 第二坐标有 种选择, 共得到 个有序对.
6. 映射 的逆映射为 .
   

命题 6 (坐标投影)

设 为 集合, 则映射：

分别称为第一与第二坐标投影.

5. 相关概念

• -元组
• 映射

6. 术语翻译

中文	英文
Cartesian 积	Cartesian product

集合论