群阶

1. 概述

于 群论 中, 群阶 是群的基础 集合 的 基数. 与之相关地, 一个群元素的阶是它所 生成 的 循环群 的群阶.

2. 定义

定义 1 (群阶)

设 为 群. 称 的 基数 为 的 群阶.

记号 2 (群阶)

群 的 群阶 记为 . 若只区分有限与无限情形, 则对无限群约定记 .

定义 3 (群元素的阶)

设 为 群, . 称 循环群 的群阶为 的 阶. 等价地, 若存在正整数 使 , 则 的阶是满足该式的最小正整数; 否则其阶为无限.

记号 4 (群元素的阶)

群元素 的 阶 记为 ; 当其阶为无限时, 记为 .

3. 例子

例子 5 (群阶与元素阶)

• 整数加法群 的 群阶 为 , 且每个非零元素的阶都为 ;
• 整数模 加法群 的群阶为 , 其中 的阶为 ;
• -循环 作为 对称群 中的元素时, 其阶为 .

4. 相关性质

推论 6 (元素阶整除群阶)

设 为 有限群, , 则 , 且 .

证明 7 (元素阶整除群阶)

对 子群 应用 Lagrange 定理 得 . 设 , 则 .

5. 相关概念

• 有限群
• 循环群
• 陪集

6. 术语翻译

中文	英文
群阶	order of a group
元素的阶	order of an element