对称群

1. 概述

于 群论 中, 集合 上的全体 置换 在 复合 下构成 对称群 . 当 含 个元素时, 的 群阶 为 , 并通常记为 .

2. 定义

定义 1 (对称群)

设 为 集合. 称 上全体 置换 所构成的集合：

在 复合 下构成的 群 为 的 对称群.

记号 2 (有限对称群)

当 时, 对称群 简记为 .

3. 例子

例子 3 (低阶对称群)

• ;
• ;
• , 且 不是 交换群.

4. 相关性质

命题 4 (有限对称群的群阶)

若 有限集 含 个元素, 则 .

证明 5 (有限对称群的群阶)

排列 的 个元素时, 第一个像有 种选择, 随后依次有 种选择, 故 双射 总数为 .

命题 6 (对称群的交换性)

为 交换群 当且仅当 .

证明 7 (对称群的交换性)

当 时可直接检验. 当 时, , 故 不交换.

5. 相关概念

• 置换
• 自同构
• 置换群
• 交错群

6. 术语翻译

中文	英文
对称群	symmetric group