$k$-循环

1. 概述

于 群论 中, 循环 是 置换 的其中一种, 例如考虑一个 有限集 上的置换 ：

其中 , 亦即按顺序 映射：

这便构成了一个 -循环, 并将这一映射记为 .

2. 定义

定义 1 (-循环)

设 为 中相异的 元素, 定义 对称群 中的 -循环 (或称 轮换) 为以下 映射：

其中约定 .

记号 2 (-循环)

上述 -循环 记为 .

对任意 定义 1 (-循环), 选择不同的循环起点会得到 种等价记号：

因而循环记号在相差一个循环轮换的意义下 唯一.

定义 3 (不交循环)

称 对称群 中两个 定义 1 (-循环) 不交, 当满足了：

3. 例子

例子 4 (初步例子)

• -循环 是 恒等置换 ;
• -循环 是将 换位, 因此 -循环又被称为 对换.

例子 5 ()

• ;
• .

4. 相关性质

命题 6 (-循环的基本性质)

设 为 定义 1 (-循环), 则：

1. ;
2. 作为 对称群 中元素的阶为 ;
3. 两个不交循环在 复合 下可交换.

证明 7 (-循环的基本性质)

4. 将 送至 , 反向循环恰将 送回 , 且二者都固定循环外的元素.
5. , 其中下标按模 读取. 因此 当且仅当 , 故 的阶为 .
6. 两个不交循环移动的元素集合不交. 对任意元素, 至多其中一个循环会改变它, 因而两种复合次序给出相同结果.
   

命题 8 (有限置换的不交循环分解)

每个有限 置换 都能写成若干两两 不交 循环之积; 忽略 -循环与循环排列次序后, 该分解唯一.

证明 9 (有限置换的不交循环分解)

置换 在基础集上生成 循环群 的 作用. 每个轨道给出一个循环, 不同轨道彼此不交且覆盖整个集合. 轨道由 唯一确定, 故分解在忽略循环次序与各循环起点后唯一.

5. 相关概念

• 置换
• 置换群
• 循环群

6. 术语翻译

中文	英文
-循环	-cycle