陪集

1. 概述

于 群论 中, 陪集 是将 子群 整体左乘或右乘一个群元素所得的 子集. 同一子群的左陪集两两相等或不交, 因而将原群分割为若干个等大的部分.

2. 定义

定义 1 (左陪集与右陪集)

设 为 群, 为 子群, . 称 集合：

分别为 在 中关于 的 左陪集 与 右陪集.

记号 2 (子群的指数)

在 中的 左陪集 所构成的集合记为 . 其 基数 称为 在 中的 指数, 记为 .

3. 例子

例子 3 (整数加法群的陪集)

设 . 在 整数加法群 中, 子群 的 陪集 为 , 其中 . 它们恰好是模 同余的各个 等价类.

例子 4 (平凡的边界情形)

设 为 群, 为其幺元. 则 , 而 , 因此 且 .

4. 相关性质

命题 5 (陪集的基本性质)

设 为 群, , , 则：

1. 映射 给出 到 的 双射, 因而 ;
2. ;
3. 任意两个 左陪集 或者相等, 或者不交;
4. .

证明 6 (陪集的基本性质)

1. 映射： 的逆映射为 , 故它是 双射.
2. 对两个 陪集 , 若 , 则 , 故 对某个 成立, 从而 . 反之, 若 , 则 .
3. 若 , 取 , 则 . 由 陪集的基本性质 的 (2) 得 .
4. 对任意 , 由于 , 有 , 故 ; 反向包含显然成立.
   

定理 7 (Lagrange 定理)

设 为 有限群, , 则 . 特别地, 整除 .

证明 8 (Lagrange 定理)

由 陪集的基本性质 的 (1)、(3)、(4), 是 个两两不交的左陪集之并, 且每个 陪集 都有 个元素, 故 .

5. 相关概念

• 子群
• 正规子群
• 商群

6. 术语翻译

中文	英文
陪集	coset
左陪集	left coset
右陪集	right coset
指数	index