置换群

1. 概述

于 群论 中, 置换群 是某个 集合 的 对称群 的 子群. 当 有 个元素时, 也称它为次数为 的置换群; 这里的次数不等于置换群自身的 群阶.

2. 定义

定义 1 (置换群)

设 为 集合, 为 的 对称群. 称任意 子群 为 上的 置换群. 若 为含 个元素的 有限集, 则称 的次数为 .

注记 2 (对称群与置换群)

对称群 是 上最大的 定义 1 (置换群), 而一般置换群只需是 的子群. 当 时, 仅有 ; 真子群 的群阶通常小于 .

3. 例子

例子 3 (循环置换群)

设 . 则 循环群 是次数为 、群阶为 的 定义 1 (置换群).

例子 4 (交错群)

交错群 是 的 正规子群, 因而也是次数为 的 置换群.

4. 相关性质

命题 5 (循环分解)

每个有限 定义 1 (置换群) 中的 元素 皆可被分解为两两不交的 k-循环 > ^7a5760 之积：

证明 6 (循环分解)

这无非是 在 所 生成 的 有限 循环群 下的轨道分解, 每个循环都对应了一个轨道, 描述了 在该轨道上的作用.

定理 7 (Cayley 定理)

每个 群 都 群同构 于某个 置换群. 更精确地, 同构于 中由左平移构成的子群.

证明 8 (Cayley 定理)

对每个 定义 置换 为 . 映射 , 满足 , 因而是 群同态. 若 , 则 , 故 为 单射. 因此 .

5. 相关概念

• 置换, -循环
• 对称群
• 交错群

6. 术语翻译

中文	英文
置换群	permutation group

群论 抽象代数