生成

1. 概述

于 群论 中, 生成 是从一组元素构造最小 子群 的方法. 它收集这些元素及其逆元的所有有限乘积, 从而得到包含原集合的最小群结构.

2. 定义

定义 1 (生成子群)

设 为 群, 为 子集. 称 中包含 的全体 子群 之交：

为由 生成的子群. 若 , 则称 生成 .

定义 2 (以有限乘积定义生成子群)

设 为 群, . 由 生成的子群等价地写为：

当 时, 上式的空乘积规定为幺元 .

记号 3 (生成子群)

当 时, 通常将 简记为 . 当 时, 是一个 循环群.

3. 例子

例子 4 (整数加法群)

在 整数加法群 中, 对每个 成立. 特别地, .

例子 5 (对称群的生成元)

对称群 由相邻对换 生成. 这是因为每个 置换 都可写为对换之积, 而每个对换又可写为相邻对换之积.

4. 相关性质

命题 6 (生成运算的基本性质)

设 为 群, , 则：

1. ;
2. 若 , 则 ;
3. .

证明 7 (生成运算的基本性质)

1. 定义 时取交的每个 子群 都包含 , 故其交也包含 .
2. 由 , 是一个包含 的子群. 由 的最小性得 .
3. 本身已是子群, 因而包含它的最小子群就是它自身.
   

命题 8 (两种生成子群定义等价)

子群之交 与 有限乘积 定义出同一个子群.

证明 9 (两种生成子群定义等价)

记有限乘积所构成的集合为 . 含幺元, 且对乘法与取逆封闭, 故 ; 又 , 所以 . 反之, 任意包含 的子群都包含 中元素及其逆元的所有有限乘积, 故 .

5. 相关概念

• 子群
• 循环群
• 对称群

6. 术语翻译

中文	英文
生成子群	generated subgroup

群论