置换

1. 概述

于 群论 中, 集合 上的 置换 等价于在说：

• 一个从 到自身的 双射;
• 对称群 中的 元素.

2. 定义

定义 1 (以双射定义的置换)

设 为 集合. 称从 到自身的 双射：

为 上的一个 置换.

定义 2 (对称群中的置换)

称 集合 上的 对称群 中的 元素 为 上的一个 置换.

记号 3 (置换)

若定义 以双射定义的置换 与 对称群中的置换 中的 是 有限集, 例如 , 我们可将置换 记为：

1 & 2 & \cdots & n \
\sigma(1) & \sigma(2) & \cdots & \sigma(n)
\end{pmatrix}

3. 例子

例子 4 (初步例子)

• 恒等映射 是 上的 以双射定义的置换, 它固定每个元素;
• 在 上, 将 送至 , 将 送至 , 将 送至 ;
• 映射 , 是无限集合 上的置换, 其逆置换为 .

4. 相关性质

命题 5 (置换对复合与取逆封闭)

设 为 集合, 为 上的 置换, 则 与 仍为 上的置换.

证明 6 (置换对复合与取逆封闭)

双射 的 复合 仍是双射, 双射的 逆映射 仍是双射, 故结论成立.

命题 7 (有限置换的不交循环分解)

每个有限集合上的 置换 都可写成若干两两不交的 -循环 之积, 且在忽略 -循环、循环次序与各循环起点后分解唯一.

证明 8 (有限置换的不交循环分解)

继承自 有限置换的不交循环分解.

5. 相关概念

• 自同构
• -循环
• 对称群, 置换群

6. 术语翻译

中文	英文
置换	permutation

群论