单子

1. 概述

于 范畴论 中, 单子 是一个自函子连同类似幺半群乘法与单位的自然变换. 每个 伴随 都自然产生一个单子.

2. 定义

定义 1 (单子)

设 为 范畴. 称三元组 为 上的 单子, 当 为 函子, 并有 自然变换：

且下列结合律图与单位律图交换：
\xymatrix{
T^3 \ar[r]^{T\mu} \ar[d]{\mu T} & T^2 \ar[d]^{\mu} \
T^2 \ar[r]{\mu} & T
}
\qquad
\xymatrix{
T \ar[r]^{T\eta} \ar[rd]{1_T} & T^2 \ar[d]^{\mu} & T \ar[l]{\eta T} \ar[ld]^{1_T} \
& T &
}

3. 例子

例子 2 (伴随产生的单子)

若 且 , 则 连同伴随的 单位 以及 构成 单子.

4. 相关性质

命题 3 (伴随单子的公理)

上述由伴随产生的 满足 单子 的结合律与单位律.

证明 4 (伴随单子的公理)

对 单子 , 结合律来自余单位 的自然性；两个单位律分别是 三角恒等式 经 或 作用后的结果.

5. 相关概念

• 伴随函子；
• 函子范畴.

6. 术语翻译

中文	英文
单子	monad

范畴论