层

1. 概述

于 Topos 理论 中, 站点上的层 是定义在 站点 上并满足覆盖筛粘合条件的 预层. 它是 广义层 在 Grothendieck 覆盖环境中的特化.

2. 定义

定义 1 (站点上的层)

设 为 站点, 为取值于 集合范畴 的 预层. 若对每个 对象 及每个覆盖 筛 , 限制映射 到 自然变换 集合：

为双射, 则称 为 上的 站点上的层.

3. 例子

例子 2 (拓扑空间上的层)

设 为 拓扑空间, 以开覆盖生成的覆盖筛赋予开集 偏序范畴 一个 Grothendieck 拓扑. 则该 站点 上的 层 恰好是 层.

4. 相关性质

推论 3 (覆盖筛上的唯一粘合)

设 为 层, 为 覆盖筛. 每个 自然变换 都由唯一的 诱导.

证明 4 (覆盖筛上的唯一粘合)

继承自 覆盖筛上的唯一粘合, 其中将 视为广义覆盖环境.

推论 5 (拓扑空间情形)

对由开覆盖生成的 Grothendieck 拓扑, 本页的 层 定义退化为 拓扑空间层 的开覆盖局部性与粘合性.

证明 6 (拓扑空间情形)

继承自 层的两种定义等价.

5. 相关概念

• 站点
• Grothendieck 拓扑
• 筛
• 层
• Topos

6. 术语翻译

中文	英文
层	sheaf
站点上的层	sheaf on a site