子对象分类子

1. 概述

于 范畴论 中, 子对象分类子 是将 特征函数 从 集合范畴 推广至更一般的 Topos 上, 具体可参阅 这里. 并且它在 Topos 理论 中占据着核心地位.

特别地, 有一类 范畴 虽然不是 Topos, 但却较为近似. 例如可对 定义 中的 单态射 施加一定的限制 (令其为强单态射) 使得这类范畴构成拟 Topos (该范畴的 单态射 与 满态射 不一定平衡).

2. 定义

定义 1 (子对象分类子)

设 为保有有限极限的 范畴, 那么 子对象分类子 是一个 单态射 (其中 为 终对象), 并且使得任意 中的单态射 皆存在唯一态射 使得有以下 拉回 图表：
% https://darknmt.github.io/res/xypic-editor/#eyJub2RlcyI6W3sicG9zaXRpb24iOlswLDBdLCJ2YWx1ZSI6IlUifSx7InBvc2l0aW9uIjpbMSwwXSwidmFsdWUiOiIxIn0seyJwb3NpdGlvbiI6WzAsMV0sInZhbHVlIjoiWCJ9LHsicG9zaXRpb24iOlsxLDFdLCJ2YWx1ZSI6IlxcT21lZ2EifV0sImVkZ2VzIjpbeyJmcm9tIjowLCJ0byI6MSwidGFpbCI6Im5vbmUifSx7ImZyb20iOjAsInRvIjoyLCJ0YWlsIjoidGFpbCJ9LHsiZnJvbSI6MiwidG8iOjMsInZhbHVlIjoiXFxjaGlfVSIsImxhYmVsUG9zaXRpb24iOiJyaWdodCJ9LHsiZnJvbSI6MSwidG8iOjMsInZhbHVlIjoiXFx0b3AifV19
\xymatrix{
U \ar@{->}[r] \ar@{)->}[d] & 1 \ar@{->}[d]^{\top} \
X \ar@{->}[r]_{\chi_U} & \Omega
}

其中分别称：

• 为 真值对象;
• 为 真;
• 为 特征态射.

注记 2 (与内部逻辑的关联)

在范畴论中, 许多数学世界里的概念都可以被内部化至附带了特定结构的范畴 上, 例如经典数学里所使用到的 量词, 连词 等的逻辑概念, 皆可用纯粹的范畴论语言刻画出来, 由此可见 定义 中的确与范畴论的内部逻辑有着深刻的联系.

3. 相关性质

4. 相关概念

• 分类对象
• 拟 Topos
• 强单态射, 正交, 平衡
• 内部化, 内部逻辑

5. 术语翻译

中文	英文
子对象分类子	subobject classifier
真值对象	truth value object

topos理论