1. 概述
当我们希望判断某些 元素
2. 定义
2.1. 于 集合论 中
定义 1 (特征函数)
设有集合
以及 子集 , 称以下映射 为关于 的 特征函数 (或称 示性函数)：
2.2. 于 范畴论 中
更广义的说, 上述在 集合论 上的 定义 可被自然地推广至 范畴论 中, 例如：
- 将集合替换为 范畴
中的一个对象 ; - 将
视为是 的 子对象, 即所有 的 单态射 的 同构类 , 或简便起见只挑选它们的代表元 即可; - 将具有 “真值” 的集合
替换为 子对象分类子 (或视为 , 其中 为 终对象).
从而引出以下定义：
定义 2 (特征态射)
设
为带有 子对象分类子 的 范畴 (保有 终对象), 对任意 及其的 子对象 , 使得有以下 拉回 图表：
% https://darknmt.github.io/res/xypic-editor/#eyJub2RlcyI6W3sicG9zaXRpb24iOlswLDBdLCJ2YWx1ZSI6IlUifSx7InBvc2l0aW9uIjpbMSwwXSwidmFsdWUiOiIxIn0seyJwb3NpdGlvbiI6WzAsMV0sInZhbHVlIjoiWCJ9LHsicG9zaXRpb24iOlsxLDFdLCJ2YWx1ZSI6IlxcT21lZ2EifV0sImVkZ2VzIjpbeyJmcm9tIjowLCJ0byI6MSwidGFpbCI6Im5vbmUifSx7ImZyb20iOjAsInRvIjoyLCJ0YWlsIjoidGFpbCJ9LHsiZnJvbSI6MiwidG8iOjMsInZhbHVlIjoiXFxjaGlfVSIsImxhYmVsUG9zaXRpb24iOiJyaWdodCJ9LHsiZnJvbSI6MSwidG8iOjMsInZhbHVlIjoiXFx0b3AifV19 \xymatrix{ U \ar@{->}[r] \ar@{)->}[d] & 1 \ar@{->}[d]^{\top} \
X \ar@{->}[r]_{\chi_U} & \Omega
}并称其中的
为关于 的 特征态射 (或 示性态射).
3. 相关概念
4. 术语翻译
| 中文 | 英文 |
|---|---|
| 特征函数 | characteristic function |
| 特征态射 | characteristic morphism |