特征函数

1. 概述

当我们希望判断某些 元素 是否亦存在于 子集 中, 这相当于给出了一个从 到具有 “真值” 的集合 的一个 映射, 称之为 特征函数 (或称 示性函数).

2. 定义

2.1. 于 集合论 中

定义 1 (特征函数)

设有集合 以及 子集 , 称以下映射 为关于 的 特征函数 (或称 示性函数)：

2.2. 于 范畴论 中

更广义的说, 上述在 集合论 上的 定义 可被自然地推广至 范畴论 中, 例如：

• 将集合替换为 范畴 中的一个对象 ;
• 将 视为是 的 子对象, 即所有 的 单同态 的 同构类 , 或简便起见只挑选它们的代表元 即可;
• 将具有 “真值” 的集合 替换为 子对象分类子 (或视为 , 其中 为 终对象).

从而引出以下定义：

定义 2 (特征态射)

设 为带有 子对象分类子 的 范畴 (保有 终对象), 对任意 及其的 子对象 , 使得有以下 拉回 图表：

并称其中的 为关于 的 特征态射 (或 示性态射).

3. 相关概念

• 子对象
• 子对象分类子
• 二值 Topos

4. 术语翻译

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特征函数	characteristic function
特征态射	characteristic morphism

集合论 topos理论 范畴论