拉回

1. 概述

于 范畴论 中, 拉回 把两个具有共同目标的 态射 沿目标对象纤维化地组合起来. 它同时推广集合的纤维积与许多几何中的基变换构造.

2. 定义

定义 1 (拉回)

设 为 范畴, 、 为 中的 态射. 称对象 连同 、 为 的 拉回, 若其同时满足：

1. 为 中的 对象;
2. 与 为 态射;
3. ;
4. 对任意 及满足 的 、, 存在唯一态射 使得下图 交换：
   \xymatrix{
   T \ar@{—>}[rd]^w \ar@/^1.2pc/[rrd]^v \ar@/_1.2pc/[rdd]u & & \
   & P \ar[r]^{\pi_Y} \ar[d]{\pi_X} & Y \ar[d]^g \
   & X \ar[r]_f & Z
   }

3. 例子

例子 2 (集合的纤维积)

在 集合范畴 中, 与 的 拉回 为：

连同两个坐标投影.

4. 相关性质

命题 3 (拉回保持单态射)

在 拉回 方块中, 若 是 单态射, 则 也是单态射.

证明 4 (拉回保持单态射)

在 拉回 方块中, 若 , 则 . 由 为 单态射 得 , 再由 拉回 的唯一性得 .

5. 相关概念

• 推出；
• 积；
• 极限.

6. 术语翻译

中文	英文
拉回	pullback

范畴论