稠密子集

1. 概述

于 一般拓扑学 中, 稠密子集 是其 闭包 等于整个空间的子集. 它以较少的点接触空间中的每个非空开区域.

2. 定义

定义 1 (稠密子集)

设 为 拓扑空间 的 子集. 若：

则称 为 的 稠密子集, 或称 在 中满足 稠密性.

3. 例子

例子 2 (有理数在实数中稠密)

在具有 通常拓扑 的 中, 有理数 集合 是 稠密子集, 因为每个非空开区间都包含有理数.

4. 相关性质

命题 3 (稠密子集的开集判据)

设 . 则 为 稠密子集 当且仅当每个非空 开集 都满足 .

证明 4 (稠密子集的开集判据)

由 闭包的邻域判据, 当且仅当每个点的每个开邻域都与 相交. 这恰好等价于每个非空开集与 相交.

命题 5 (稠密性对扩大子集保持)

若 是 的 稠密子集 且 , 则 也是 的稠密子集.

证明 6 (稠密性对扩大子集保持)

由 闭包运算的基本性质 的第 2 条, .

5. 相关概念

• 闭包
• 可分空间
• 稠密性
• 开集

6. 术语翻译

中文	英文
稠密子集	dense subset
稠密	dense

一般拓扑