缩回

1. 概述

于 一般拓扑学 中, 缩回 是把整个空间连续压回某个子空间且固定该子空间的映射. 该子空间称为原空间的收缩核或 retract.

2. 定义

定义 1 (缩回)

设 为 拓扑空间 的 拓扑子空间. 若 连续映射 满足 , 则称 为 到 的 缩回, 并称 为 的收缩核.

3. 例子

例子 2 (积空间到因子的缩回)

设 为 拓扑空间, 固定 . 映射 , 是 缩回.

4. 相关性质

命题 3 (缩回与截面)

设 , 为包含映射. 连续映射 是 缩回 当且仅当 , 即 是 的 截面.

证明 4 (缩回与截面)

等式 逐点写出恰为对每个 有 , 即 .

命题 5 (Hausdorff 空间中的收缩核闭)

若 是 Hausdorff 空间, 是 缩回 的像, 则 是 的 闭集.

证明 6 (Hausdorff 空间中的收缩核闭)

设 为缩回, . 因 且 为 Hausdorff 空间, 可取不交开邻域 与 . 由 连续, 是 的邻域. 邻域 与 不相交, 因为若 落入其中, 则 , 矛盾. 故 开.

5. 相关概念

• 截面
• 子空间拓扑
• 拓扑嵌入
• 连续映射

6. 术语翻译

中文	英文
缩回	retraction
收缩核	retract

一般拓扑