同构

1. 概述

一般数学的同构 是可逆的结构保持映射. 当两个代数结构之间存在同构时, 它们在所研究的结构语言中没有本质区别, 只是元素名称或表示方式不同.

2. 定义

定义 1 (一般数学的同构)

设 与 是同一代数语言中的 代数结构, 为 同态. 若 同时为 单射 与 满射, 则称 为 一般数学的同构.

3. 例子

例子 2 (坐标表示)

设 为 维 -线性空间, 选定一组基后, 坐标映射 是 线性同构. 该同构依赖所选基, 因而一般不是自然或典范的.

4. 相关性质

命题 3 (同构的逆映射)

若 为 一般数学的同构, 则存在唯一映射 , 且 也是同构.

证明 4 (同构的逆映射)

存在性

单射 与 满射 保证集合意义下存在 逆映射 . 对 中各元素取原像, 由 保持每个运算即可验证 也保持同一组运算与常元.

唯一性

若 也满足 且 , 则对任意 , 由满射性取 使 , 从而 , 故 .

命题 5 (同构的复合)

设 与 是同构, 则：

1. 仍是同构;
2. 同构关系在同类型代数结构之间构成等价关系.

证明 6 (同构的复合)

1. 同构的复合仍保持每个运算, 且单射与满射的复合分别仍为单射与满射, 因而 是同构.
2. 恒等映射给出自反性, 取逆映射给出对称性, 同构的复合给出传递性.
   

5. 相关概念

• 同态
• 单同态
• 满同态
• 范畴论中的同构
• 线性同构

6. 术语翻译

中文	英文
一般数学的同构	isomorphism
同构映射	isomorphism map
逆同构	inverse isomorphism

映射 抽象代数