Noether 环

1. 概述

于 交换代数 中, Noether 环 是所有 理想 都有限生成的 交换环. 它保证理想运算和代数构造具有可控的有限性.

2. 定义

定义 1 (Noether 环)

设 为 交换环. 若 作为自身的 -模 是 Noether 模, 则称 为 Noether 环.

3. 例子

例子 2 (整数环与域)

整数环 与任意 域 都是 Noether 环, 因为它们的每个 理想 都由一个元素生成.

4. 相关性质

定理 3 (Hilbert 基定理)

若 是 Noether 环, 则 多项式环 也是 Noether 环. 因而每个有限变量多项式环 都是 Noether 环.

推论 4 (有限型代数的 Noether 性)

设 为 Noether 环. 每个 有限型 -代数 都是 Noether 环.

证明 5 (有限型代数的 Noether 性)

由 Hilbert 基定理, 为 Noether 环. 有限型代数的商表示 与 Noether 环的商仍为 Noether 环给出结论.

5. 相关概念

• Noether 模
• 有限型代数
• 多项式环
• 升链条件

6. 术语翻译

中文	英文
Noether 环	Noetherian ring
Hilbert 基定理	Hilbert basis theorem