椭圆曲线

1. 概述

于 代数几何 中, 椭圆曲线 是带有指定有理点的光滑射影亏格 曲线. 指定点作为单位元使曲线上的点自然形成交换群.

2. 定义

定义 1 (椭圆曲线)

设 为 域. 称二元组 为 上的 椭圆曲线, 当 是 上光滑, 射影且几何整的 代数曲线, 亏格 , 且 是一个指定 有理点.

3. 例子

例子 2 (Weierstrass 曲线)

设 为 域, . 当 且 时, 仿射曲线 的 射影闭包 由其 齐次化 方程定义：

配备无穷远点 的该射影闭包是 椭圆曲线.

4. 相关性质

定理 3 (椭圆曲线的群结构)

设 为 椭圆曲线. 存在唯一的正则 交换群 结构使 为单位元.

注记 4 (弦切法)

在平面 Weierstrass 模型上, 三个计重数的共线交点之和为 ; 因而两点之和可由割线或切线与曲线的第三个交点构造.

5. 相关概念

• 曲线的亏格
• 有理点
• 代数曲线
• 算术几何

6. 术语翻译

中文	英文
椭圆曲线	elliptic curve
Weierstrass 方程	Weierstrass equation