张量积

1. 概述

于 模论 中, 张量积 把双线性映射转化为普通 模同态. 它描述两个模在线性关系下的乘积, 并控制标量扩张、局部化与基变换.

2. 定义

定义 1 (张量积)

设 为 交换环, 为 -模. 若 -模 与双线性映射 满足：对任意 -模 与双线性映射 , 存在唯一的 模同态 , 使得下图 交换：
\xymatrix{
M\times N \ar[r]^{\tau} \ar[dr]_{b} & T \ar@{—>}[d]^{\widetilde b} \
& P
}

即 , 则称 为 与 的 张量积.

记号 2 (张量积)

张量积 记为 , 元素 记为 .

3. 例子

例子 3 (与环自身张量)

对任意 -模 , 映射 给出 张量积 同构 .

4. 相关性质

定理 4 (张量积的存在唯一性)

对任意交换环 与 -模 , 张量积 存在, 并且在与典范双线性映射相容的唯一同构意义下唯一.

命题 5 (张量积的基本同构)

设 为 交换环, 为 -模. 则 张量积 满足以下自然 模同构：

1. ;
2. ;
3. .

证明 6 (张量积的基本同构)

1. 双线性映射 由 张量积 的泛性质诱导互逆同态.
2. 两侧均满足表示从 到任意 -模 的三线性映射的泛性质.
3. 由 直和的泛性质 与 张量积 的泛性质, 两侧都表示从 及 给出的双线性映射对.
   

5. 相关概念

• Hom-模
• 标量扩张
• 模的局部化
• 直和

6. 术语翻译

中文	英文
张量积	tensor product