环同态

1. 概述

于 环论 中, 环同态 是同时保持加法、乘法与乘法幺元的 映射. 环同态具有 核 与 像; 若底层映射还是单射或满射, 则分别得到 环单同态 或 环满同态.

2. 定义

定义 1 (环同态)

设 为 环, 为 映射. 称 为 环同态, 当对任意 ：

1. ;
2. ;
3. .

3. 例子

详情请参阅 环论中同态的例子.

4. 相关性质

命题 2 (环同态保持零元与负元)

设 为 定义 1 (环同态), , 则：

1. ;
2. ;
3. 对每个 , .

证明 3 (环同态保持零元与负元)

1. 由 , 在 的加法群中消去 得 .
2. 由 , 是 的加法逆元.
3. 对 作归纳. 时由 成立; 归纳步由 得到.
   

5. 相关概念

• 环同态的核
• 环同态的像
• 环单同态
• 环满同态
• 环同构
• 理想
• 商环
• 子环

6. 术语翻译

中文	英文
环同态	ring homomorphism