整除

1. 概述

于 环论 中, 环中的整除 将整数中的倍数关系推广到交换环. 它与 主理想 的反向包含关系等价.

2. 定义

定义 1 (环中的整除)

设 为 交换环, . 称 整除 , 当存在 使 .

记号 2 (环中的整除)

整除 记为 .

3. 例子

例子 3 (整数中的整除)

在 整数环 中, , 因为 ; 但 .

4. 相关性质

命题 4 (整除的基本性质)

设 为 交换环, , 则：

1. ;
2. 若 且 , 则 ;
3. 若 且 , 则对任意 , ;
4. 若 与 相伴, 则 且 .

证明 5 (整除的基本性质)

1. 因 , 有 .
2. 写 与 , 则 .
3. 写 与 , 则 .
4. 若 且 为单位, 则 与 分别由 与 得到.
   

5. 相关概念

• 公因数
• 公倍数
• 相伴元
• 主理想

6. 术语翻译

中文	英文
整除	divisibility