约化环

1. 概述

于 环论 中, 约化环 是不存在非零 幂零元 的 交换环. 它在代数几何中对应没有非平凡无穷小增厚的信息.

2. 定义

定义 1 (约化环)

称 交换环 为 约化环, 当对任意 与 ：

3. 例子

例子 2 (整环与非约化环)

• 任意 整环 都是 定义 1 (约化环);
• 不是约化环, 因为 但 .

4. 相关性质

命题 3 (约化环的幂零根判别)

交换环 为 定义 1 (约化环) 当且仅当其 幂零根 等于 零理想 .

证明 4 (约化环的幂零根判别)

充分性 ( )

若 约化, 则每个幂零元都等于 , 所以按 幂零根 的定义有 .

必要性 ( )

若 且 , 则 , 故 .

5. 相关概念

• 幂零元
• 幂零根
• 整环

6. 术语翻译

中文	英文
约化环	reduced ring