理想的根

1. 概述

于 环论 中, 理想的根 是由某个正整数次幂落入给定理想的全部元素所构成的 理想. 它是包含原理想的最小 根理想.

2. 定义

定义 1 (理想的根)

设 为 交换环, 为 理想. 称：

为 的 根.

3. 例子

例子 2 (整数环中的根)

在 整数环 中, .

4. 相关性质

命题 3 (理想的根是根理想)

设 为 交换环, , 则：

1. 是包含 的 根理想;
2. 若 是包含 的根理想, 则 ;
3. .

证明 4 (理想的根是根理想)

1. 若 , 取 . 二项式展开 的每一项都含 或 , 故 , 从而 ; 对 , , 故 . 因此 是理想. 若 , 则 对某个 成立, 故 .
2. 若 , 则 对某个 成立; 因 为根理想, .
3. 由 (1), 已是根理想, 再由 根理想 的定义得 .
   

定理 5 (理想的根的素理想刻画)

设 为 交换环, , 则：

证明 6 (理想的根的素理想刻画)

对 理想的根 , 每个包含 的 素理想 都是根理想, 所以由 理想的根是根理想 的 (2), 包含于右侧的交.

反之, 设 , 并令 . 则 . 考虑所有包含 且与 不交的理想, 由 Zorn 引理取其极大元 . 若 而 , 则极大性给出 与 . 因而存在 、 与 使：

两式相乘并使用 , 得 , 与 矛盾. 故 为素理想, 且它包含 而不含 . 因此不属于 的元素也不属于右侧的交, 得反向包含.

5. 相关概念

• 根理想
• 素理想
• 幂零根
• 约化环

6. 术语翻译

中文	英文
理想的根	radical of an ideal