1. 概述 于 线性代数 中, 商线性空间 是把一个 线性子空间 中的差异视为零所得的 线性空间, 是 商模 在域上的情形. 2. 定义 定义 1 (商线性空间) 设 为 域 上的 线性空间, 为其 线性子空间. 在加法 商群 上赋予运算 与 , 所得结构称为 商线性空间. 3. 例子 例子 2 (基本例子) 在 线性空间 中令 . 商线性空间 的每个类由第二坐标唯一确定, 因而与 线性同构. 4. 相关性质 命题 3 (商空间的泛性质) 设 为 线性空间 的 线性子空间, 为同域上的线性空间, 为 线性映射, 且 . 令 为商投影. 则存在唯一线性映射 , 使得下图 交换： \xymatrix{ V \ar[r]^{\pi} \ar[dr]_{T} & V/U \ar@{—>}[d]^{\overline T} \ & W } 即 , 其中 为 商线性空间. 证明 4 (商空间的泛性质) 存在性 若 , 则 , 故 . 因而公式良定义, 且由 线性映射 的线性得到诱导映射的线性. 唯一性 商线性空间 的每个元素都是某个 , 公式已规定其像. 命题 5 (商空间维数) 设 为 有限维线性空间, 为其 线性子空间. 则 商线性空间 满足 . 5. 相关概念 商模 核 线性同构 6. 术语翻译 中文英文商线性空间quotient vector space