商群

1. 概述

于 群论 中, 商群 是将一个 正规子群 的每个 陪集 压缩为单个元素所得的群. 它保留了原群乘法在这些陪集上的信息, 并由典范 群满同态 与原群联系.

2. 定义

定义 1 (商群)

设 为 群, 为 正规子群. 在左陪集所构成的 集合 上定义 二元运算：

称所得 群 为 对 的 商群.

记号 2 (典范投影)

映射 , 称为从 到 的 典范投影.

3. 例子

例子 3 (整数模 加法群)

设 . 在 整数加法群 中, , 且 整数模 加法群 恰好是 商群 .

例子 4 (平凡商群)

设 为 群, 为其幺元, 则 , 而 是只有一个元素的群.

4. 相关性质

命题 5 (商群乘法良定义)

设 为 群, , 则 不依赖于 陪集 代表元 的选取.

证明 6 (商群乘法良定义)

若 且 , 则存在 使 与 . 由 , 有 , 因而：

故乘法良定义.

命题 7 (典范投影的核与像)

从 到 的典范投影 是 群满同态, 且 .

证明 8 (典范投影的核与像)

对任意 , , 故 为 群同态. 每个陪集 都是 , 故 为 满射. 又 当且仅当 , 故 .

命题 9 (有限商群的群阶)

设 为 有限群, , 则 .

证明 10 (有限商群的群阶)

由 Lagrange 定理, ; 而 , 故结论成立.

5. 相关概念

• 正规子群
• 陪集
• 群同态的核
• 群满同态

6. 术语翻译

中文	英文
商群	quotient group
典范投影	canonical projection