群同态的像

1. 概述

于 群论 中, 群同态的 像 是陪域中实际由定义域元素取到的全部元素所构成的 子群. 它衡量 群同态 偏离 群满同态 的程度.

2. 定义

定义 1 (群同态的像)

设 为 群, 为 群同态. 称：

为 的 像.

3. 例子

例子 2 (包含映射的像)

设 为 子群, 为包含映射, 则其 群同态的像 满足 .

例子 3 (商群投影的像)

设 为 群, 为 正规子群. 商群 的典范投影 为 群满同态, 因而其 群同态的像 满足 .

4. 相关性质

命题 4 (群同态的像是子群)

设 为 群同态, 则 是 的 子群.

证明 5 (群同态的像是子群)

由 , 有 . 若 , 则：

故 对乘法与取逆封闭; 结合律 从 继承. 由 子群 的定义, 是 的子群.

命题 6 (复合群同态的像)

设 与 为 群同态, 则：

1. ;
2. 若 为 群满同态, 则 .

证明 7 (复合群同态的像)

1. 两边都等于 .
2. 若 为满射, 则 , 所以由 (1) 得 .
   

推论 8 (满像判别)

群同态 为 群满同态 当且仅当其 群同态的像 满足 .

证明 9 (满像判别)

这是 群满同态的像判别.

5. 相关概念

• 群同态
• 群同态的核
• 群满同态
• 子群

6. 术语翻译

中文	英文
群同态的像	image of a group homomorphism