正规子群

1. 概述

于 群论 中, 正规子群 是在原群的每个内共轭下保持不变的 子群. 这一不变性恰好使左右 陪集 一致, 从而能够定义 商群.

2. 定义

定义 1 (正规子群)

设 为 群, 为 子群. 称 为 的 正规子群, 当：

记号 2 (正规子群)

是 的 正规子群 记为 .

3. 例子

例子 3 (初步例子)

• 对任意 群 , 与 都是 的 定义 1 (正规子群);
• 交换群 的每个 子群 都是正规子群;
• 对任意 群同态 , 核 是 的正规子群.

例子 4 (交错群)

当 时, 交错群 是 对称群 的 定义 1 (正规子群), 且 .

4. 相关性质

命题 5 (正规性的等价刻画)

设 为 群, , 则 当且仅当对每个 都有 .

证明 6 (正规性的等价刻画)

充分性 ( )

若 , 则 . 两边右乘 得 .

必要性 ( )

若对每个 都有 , 则两边右乘 得 , 故 .

命题 7 (同态的核为正规子群)

设 为 群同态, 则 .

证明 8 (同态的核为正规子群)

对任意 与 , 由群同态保乘法与逆元得 , 故 . 因此 ; 将 换为 得反向包含, 从而两者相等.

命题 9 (正规子群的交仍正规)

设 为 群, 为 的一族 定义 1 (正规子群), 则 .

证明 10 (正规子群的交仍正规)

对每个 , 共轭映射为 双射, 因而 .

5. 相关概念

• 子群
• 陪集
• 商群
• 群同态的核

6. 术语翻译

中文	英文
正规子群	normal subgroup