群满同态

1. 概述

于 群论 中, 若 群 之间的 群同态 是 满射 的, 则称之为 群满同态. 它亦是 群范畴 中的 满同态.

2. 定义

定义 1 (群满同态)

设 为 群, 若 群同态 是 满射, 则称 为 群满同态.

3. 例子

例子 2 ( 到 的映射)

对任意 , 定义 映射：

则 是从 整数加法群 到 整数模 加法群 的 群满同态, 称为 典范满同态.

例子 3 ( 到 的映射)

从 有理数 加法群到其模 商群的典范投影：

亦为 群满同态.

详情请参阅 群论中同态的例子.

4. 相关性质

推论 4 (群满同态的复合仍是满同态)

设 为 群, 定义 1 (群满同态) 以及 , 则 复合 仍是群满同态.

证明 5 (群满同态的复合仍是满同态)

继承自 半群满同态的复合仍是满同态.

命题 6 (群满同态的像判别)

设 为 群, 为 群同态. 则 为 群满同态 当且仅当其 像 满足：

证明 7 (群满同态的像判别)

充分性 ( )

若 是 群满同态, 则对每个 都存在 使 , 因而 .

必要性 ( )

若 , 则每个 都属于 的像, 即存在 使 . 因此 是满射.

5. 相关概念

• 半群满同态
• 群同态, 群单同态, 群同构
• 群同态的像

6. 术语翻译

中文	英文
群满同态	group epimorphism
典范满同态	canonical epimorphism