群直积

1. 概述

于 群论 中, 群直积 是在一族群的 Cartesian 积 上按分量定义运算所得到的 群. 它将多个独立的群结构组合在一起, 每个因子都可由典范投影取回.

2. 定义

定义 1 (群直积)

设 为一族 群. 在 Cartesian 积 上定义 二元运算：

称所得群 为这族群的 直积. 其幺元为 , 且 .

记号 2 (有限个群的直积)

当 时, 将直积记为 . 若各因子均为 , 则记为 .

3. 例子

例子 3 (整数格)

对任意 , 在按分量加法下是 交换群, 且是 个 整数加法群 的 定义 1 (群直积).

例子 4 (有限循环群的直积)

有四个元素, 其每个非幺元的阶都是 , 因而它不 群同构 于循环群 .

4. 相关性质

命题 5 (直积的典范投影)

设 为 群, 则映射：

都是 群满同态.

证明 6 (直积的典范投影)

按分量运算立即得 , 故 为 群同态. 对每个 , 映至 , 故它是 满射. 同理.

命题 7 (因子的典范嵌入)

设 为 群, 则映射：

都是 群单同态, 且其像均为 的 正规子群.

证明 8 (因子的典范嵌入)

两个映射均按分量保持运算, 且由第一个或第二个分量可恢复原元素, 故均为 单射. 对任意 , 有 , 故 ; 另一个像同理.

命题 9 (直积的群阶与交换性)

1. 若 为 有限群, 则 ;
2. 为 交换群 当且仅当 与 均为交换群.

证明 10 (直积的群阶与交换性)

1. 由有限 Cartesian 积 的基数公式得 .
2. 若 均交换, 则直积的运算按分量交换. 反之, 若 交换, 则其子群 与 交换, 故 均交换.
   

5. 相关概念

• Cartesian 积
• 子群
• 商群
• 交换群

6. 术语翻译

中文	英文
群直积	direct product of groups
典范投影	canonical projection
典范嵌入	canonical embedding