范畴等价

1. 概述

于 范畴论 中, 范畴等价 比范畴严格同构更宽松：它允许对象只在同构意义下对应. 范畴等价保留所有由对象、态射和复合表达的范畴论结构.

2. 定义

定义 1 (范畴等价)

设 为 范畴. 若存在 函子 、 以及 自然同构：

则称 与 等价, 并称 、 为互为拟逆的等价函子.

3. 例子

例子 2 (范畴与其骨架)

若从一个 范畴 的每个对象同构类中选取一个代表, 并取这些代表生成的 全子范畴, 则所得骨架与原范畴 等价.

4. 相关性质

定理 3 (等价函子的判别)

函子 是 范畴等价 当且仅当它是 全忠实函子 与 本质满射函子.

证明 4 (等价函子的判别)

充分性 ( )

由 范畴等价 的拟逆与两个自然同构, 得到 Hom-集之间互逆的映射, 所以 全忠实；而每个 都与 同构, 所以 本质满射.

必要性 ( )

对每个 选择 及同构 . 利用 的全忠实性, 唯一提升 来定义 . 这些唯一性保证函子律与自然性, 并由全忠实性构造 .

5. 相关概念

• 同构；
• 自然变换.

6. 术语翻译

中文	英文
范畴等价	equivalence of categories

范畴论