一阶语言

1. 概述

在 逻辑学 中, 一阶语言 是一类 形式语言, 是 一阶逻辑 所使用的语言. 大部分主流数学都基于一阶逻辑, 例如 ZFC 集合论 便是由一阶语言写出的.

2. 定义

定义 1 (一阶语言)

一阶语言 是一个 形式语言, 它的 字母表 由以下的符号生成：

• 一些 逻辑符号：
  • 量词： (任意量词), (存在量词);
  • 连词： (非), (合取), (析取), (蕴含), (当且仅当);
  • 真假值常量： (真), (假);
  • 等价符号： (视作谓词);
  • 括号：'' (左小括号), 或 '' (右小括号);
• 以及一些其他 符号：
  • 谓词：对任意 , 这里有一族 -元 谓词, 大意指含有 个 自由变量 的 命题;
  • 映射：对任意 , 这里有一族 -元 函数, 有时亦称为 函数符号, 其中 元函数称为 常数;
  • 变量：一族 变量 , 用于指代不固定对象的符号.

注记 2 (定义的不严格性)

定义 1 (一阶语言) 是严格讨论数学的基础, 故在一阶语言之前并无所谓的 “严格”, 上述定义也不是严格给出的, 而是用自然语言 (或者 元语言) 写成的. 尽管如此, 在定义中我们还是用了 集合论 的惯常用语.

注记 3 (符号不同)

取决于作者的不同, 上述定义中的符号亦可能有所出入, 例如有些文章会将括号替换为左右中括号 '' 以及 '', 再将等价符号 替换为 或 . 同时亦有可能额外引入其他的一些符号.

3. 例子

例子 4 (Peano 公理)

Peano 公理 语言包含了以下符号：

• 一个 -元函数 (表示 “取后继” 的操作);
• 两个 -元函数 (加法与乘法);
• 一个 -元谓词 (自然数相等).

例子 5 (ZFC 集合论)

ZFC 集合论 是由 可数无限字母表 所生成的 一阶语言 谱写而来的, 但其中的函数符号集是个 空集, 并且只有一个 -元谓词 . 并且这里不需要相等谓词 , 因为通过 Zermelo-Fraenkel 集合论 > ^39fa04 可将 视为以下逻辑表述的简写：

4. 相关概念

• 形式语言
• 一阶逻辑

5. 术语翻译

中文	英文
一阶语言	first-order language

逻辑学