无限集

1. 概述

于 集合论 中, 无限集 是元素个数不等于任何 自然数 的 集合. 无限集既包括可由自然数逐一列举的 可数无限集, 也包括更大的 不可数集.

2. 定义

定义 1 (无限集)

设 为 集合, 若 不是 有限集, 则称 为 无限集. 换言之, 对任意 , 与 之间都不存在 双射.

3. 例子

例子 2 (基本例子)

• , 与 是 可数无限集;
• 与 是不可数的无限集;
• 素数集是 的无限子集.

4. 相关性质

命题 3 (无限性的基本保持性质)

设 为 集合, 则：

1. 若 无限且 , 则 无限;
2. 若 无限且 与 等势, 则 无限;
3. 若 无限, 则对任意 有限集 , 无限.

证明 4 (无限性的基本保持性质)

1. 若 有限, 则其子集 也有限, 与假设矛盾.
2. 若 有限, 由 与 之间的 双射 可知 也有限, 矛盾.
3. 因为 , 结论由第 1 点立即得到.
   

注记 5 (无限与不可数不同)

与自身之间存在双射, 但 仍是 无限集. “无法与 的任意子集建立双射”描述的是不可数性, 不是无限性.

5. 相关概念

• 有限集
• 可数集
• 不可数集
• Dedekind 无限

6. 术语翻译

中文	英文
无限集	infinite set

集合论