可度量化空间

1. 概述

于 一般拓扑学 中, 可度量化空间 是其拓扑可由某个度量诱导的拓扑空间. 可度量化性说明抽象开集结构能够由距离完整描述.

2. 定义

定义 1 (可度量化空间)

设 为 拓扑空间. 若存在 上的 度量 使 , 则称 为 可度量化空间.

3. 例子

例子 2 (初步例子)

• 每个 度量空间 忘去具体度量后都是 可度量化空间;
• 任意集合上的 离散拓扑 可由离散度量诱导;
• 不可数集合上的 余可数拓扑 不可度量化, 因为它不是 Hausdorff 空间.

4. 相关性质

命题 3 (可度量化空间的基本分离与可数性质)

每个 可度量化空间 都是：

1. 第一可数空间;
2. Hausdorff 空间;
3. 正规空间.

证明 4 (可度量化空间的基本分离与可数性质)

1. 由 度量拓扑第一可数且 Hausdorff 的第一部分得证.
2. 由同一命题的第二部分得证.
3. 若不交闭集 中有一个为空, 分离结论显然. 否则令 与 . 距离函数连续, 故 开且不交, 并分别包含 .
   

命题 5 (子空间保持可度量化)

可度量化空间 的每个 子空间 都可度量化.

证明 6 (子空间保持可度量化)

将诱导原空间拓扑的度量限制到子集上, 所诱导拓扑恰为 子空间拓扑.

5. 相关概念

• 度量空间
• 度量诱导的拓扑
• 等价度量
• 分离公理

6. 术语翻译

中文	英文
可度量化空间	metrizable space
可度量化性	metrizability

一般拓扑