度量诱导的拓扑

1. 概述

于 一般拓扑学 中, 度量诱导的拓扑 是由度量空间的全部开球生成的拓扑. 它把距离语言转译为开集语言.

2. 定义

定义 1 (度量诱导的拓扑)

设 为 度量空间. 称由全部 开球 作为 拓扑基 所生成的拓扑为 诱导的拓扑.

记号 2 (度量诱导的拓扑)

度量 诱导的拓扑 记为 .

3. 例子

例子 3 (实数的通常拓扑)

通常距离 在 上诱导的 拓扑 正是 通常拓扑.

4. 相关性质

命题 4 (度量拓扑的开集判据)

对 度量诱导的拓扑 与 , 当且仅当对每个 , 存在 使：

证明 5 (度量拓扑的开集判据)

这正是 开球 构成 拓扑基 时, 一个集合为开的逐点基元素判据.

命题 6 (度量拓扑第一可数且 Hausdorff)

每个带有 度量诱导的拓扑 的空间都是 第一可数空间 与 Hausdorff 空间.

证明 7 (度量拓扑第一可数且 Hausdorff)

对每个 , 是可数 局部基. 对不同点 , 取半径小于 的开球即可得到不交邻域.

5. 相关概念

• 度量空间
• 开球
• 等价度量
• 可度量化空间

6. 术语翻译

中文	英文
度量诱导的拓扑	topology induced by a metric / metric topology

一般拓扑