拓扑基

1. 概述

于 一般拓扑学 中, 拓扑基 是一族足以通过任意并生成全部 开集 的基本开集. 使用拓扑基可以简化拓扑的定义与连续性的检验.

2. 定义

定义 1 (拓扑基)

设 为 拓扑空间, . 若每个 开集 都可以写成 中若干元素之并, 则称 为 的 拓扑基.

3. 例子

例子 2 (实数通常拓扑的基)

所有开区间组成的族是 上 通常拓扑 的 拓扑基. 端点均为 有理数 的开区间也构成同一拓扑的基.

4. 相关性质

命题 3 (拓扑基判据)

设 为 集合, . 则 是 上某个 拓扑空间 的 拓扑基 当且仅当：

1. 对每个 , 存在 使 ;
2. 若 且 , 则存在 使 .

证明 4 (拓扑基判据)

充分性 ( )

若 已是拓扑基, 第 1 条来自 为开集, 第 2 条来自 为开集及其可写成基元素之并.

必要性 ( )

令 为 中元素的任意并所组成的族. 第 1 条给出 , 空并给出 ; 任意并显然仍在 中. 第 2 条保证两个基元素的交可写成基元素之并, 从而 对有限交封闭.

5. 相关概念

• 拓扑子基
• 局部基
• 通常拓扑
• 第二可数空间

6. 术语翻译

中文	英文
拓扑基	basis for a topology
基元素	basis element

一般拓扑