离散拓扑

1. 概述

于 一般拓扑学 中, 离散拓扑 是给定 集合 上包含最多 开集 的拓扑. 在离散空间中, 每个点都能被单独挑出.

2. 定义

定义 1 (离散拓扑)

设 为 集合. 称幂集：

为 上的 离散拓扑, 并称 为离散 拓扑空间.

3. 例子

例子 2 (有限离散空间)

对 , 的全部八个 子集 都属于 离散拓扑.

4. 相关性质

命题 3 (离散空间的基本性质)

设 具有 离散拓扑. 则：

1. 的每个子集都同时为 开集 与 闭集;
2. 从 到任意 拓扑空间 的每个 映射 都连续;
3. 为 紧致空间 当且仅当 为 有限集.

证明 4 (离散空间的基本性质)

1. 每个子集属于 , 其补集亦然.
2. 任意开集的原像都是 的子集, 因而开.
3. 若 有限, 任意开覆盖可逐点选择有限子覆盖. 若 无限, 单点集族 是无有限子覆盖的开覆盖.
   

5. 相关概念

• 平凡拓扑
• 离散性
• 孤立点
• 紧致空间

6. 术语翻译

中文	英文
离散拓扑	discrete topology
离散空间	discrete space

一般拓扑