连通分支

1. 概述

于 一般拓扑学 中, 连通分支 是按包含关系极大的连通子集. 它把任意拓扑空间分解成彼此不交的最大连通部分.

2. 定义

定义 1 (连通分支)

设 为 拓扑空间, . 若 是 连通子集, 且不存在真包含 的连通子集, 则称 为 的 连通分支.

3. 例子

例子 2 (去掉原点的实直线)

在 的 子空间拓扑 中, 与 是两个 连通分支.

4. 相关性质

命题 3 (连通分支构成划分)

任意 拓扑空间 的 连通分支 构成 的 划分.

证明 4 (连通分支构成划分)

对每个 , 所有包含 的连通子集之并由 具有公共点的连通子集之并连通 得到一个包含 的最大连通子集. 若两个连通分支相交, 它们的并连通, 由极大性知二者相等.

命题 5 (连通分支闭)

每个 连通分支 都是 闭集.

证明 6 (连通分支闭)

由 闭包保持连通, 连通且包含连通分支 . 由极大性 .

5. 相关概念

• 连通空间
• 道路连通分支
• 闭包
• 划分

6. 术语翻译

中文	英文
连通分支	connected component

一般拓扑