相容性

1. 概述

于 代数结构 中, 相容性 描述一种 运算 或合成方式经过另一种表示后仍保持一致. 它常表现为“先运算再表示”与“先表示再 复合”得到相同结果.

在 群作用 中, 群元乘积 所诱导的 映射 等于 与 分别诱导的映射依次复合.

2. 定义

定义 1 (运算与映射族的相容性)

设 与 为 集合, 为 上的 二元运算, 为所有从 到自身的 映射 所成的集合, 并设：

称 与 满足 相容性, 当：

等价地, 对任意 与 有 .

3. 例子

例子 2 (群作用)

设 为 群, 为 集合, 且 在 上有 群作用. 对每个 , 定义 映射：

则 , 因而对应 与 的乘法满足 相容性.

例子 3 (左平移映射)

设 为 群. 对每个 , 定义 映射：

则对任意 都有 , 这正是 左正则作用 中的 相容性.

例子 4 (映射迭代)

设 为 集合, 为 上的 映射. 对每个 , 记 , 其中 . 则由 映射复合 的 结合律 有 , 因而 与 自然数 加法满足 相容性.

4. 相关性质

命题 5 (有限乘积的相容性)

设 为 半群, 且映射族 满足 相容性. 对任意正 自然数 与 有：

证明 6 (有限乘积的相容性)

对 使用 数学归纳法, 并反复应用 相容性 与 结合律 即可.

命题 7 (群元诱导映射的逆)

设 为 群, 映射族 满足 相容性, 且 . 则每个 都是 双射, 且其 逆映射 为 .

证明 8 (群元诱导映射的逆)

由 逆元律 与 相容性 可得 且 .

5. 相关概念

• 兼容性
• 结合律
• 群作用
• 复合

6. 术语翻译

中文	英文
相容性	compatibility condition

一般数学 代数性质