群作用

1. 概述

于 群论 中, 群作用 用于刻画 群 在一个 集合 上的对称变换方式.

2. 定义

定义 1 (群作用)

设 为 群, 为 集合, 称 映射：

为 在 上的 (左)群作用, 当同时满足：

• 单位律：, 其中 为 的 幺元;
• 相容性：.

3. 例子

例子 2 (平凡作用)

设 为 群, 为 集合. 定义：

则 为 在 上的 群作用, 称为 平凡作用.

例子 3 (左正则作用)

设 为 群. 定义：

则 为 在自身上的 群作用, 称为 左正则作用.

4. 相关性质

命题 4 (每个群元诱导双射)

对任意 群元 , 映射：

皆为 双射, 且其 逆映射 为 .

证明 5 (每个群元诱导双射)

对任意 , 由 相容性 与 群 的逆元性质可得：

因此 的 逆映射 即为 , 故其为 双射.

命题 6 (群作用对应到对称群的同态)

设 为 群, 为 集合, 为 上的 对称群. 给定 在 上的 群作用, 对每个 记 , 则映射：

为 群同态. 反之, 给定群同态 , 公式 定义了 在 上的群作用.

证明 7 (群作用对应到对称群的同态)

正向

对任意 与 , 由 相容性 有 , 故 , 即 为群同态.

反向

设 为 的幺元. 由 群同态 有 与 . 因而对任意 与 有 及 , 故该公式满足 群作用 的两条公理.

5. 相关概念

• 群
• 置换群
• 对称群

6. 术语翻译

中文	英文
群作用	group action