左正则作用

1. 概述

于 群论 中, 左正则作用 是 群 通过左乘自身元素而在其底层 集合 上定义的 群作用.

2. 定义

定义 1 (左正则作用)

设 为 群, 定义 映射：

由 单位律 与 结合律, 为 在自身上的 群作用, 称为 的 左正则作用.

记号 2 (左平移)

对任意 , 记由 左正则作用 诱导的 映射 为：

并称 为由 诱导的 左平移.

3. 例子

例子 3 (整数加法群上的左正则作用)

设 为 整数 集合, 则加法群 的 左正则作用 为：

因而每个 诱导的 左平移 为 .

例子 4 (对称群上的左正则作用)

设 为 集合, 为 上的 对称群. 则 通过 置换 的 复合 在自身上作 左正则作用, 即 .

4. 相关性质

命题 5 (左平移为双射)

设 为 群. 对任意 , 由 左正则作用 诱导的 左平移 为 双射, 且其 逆映射 为 .

证明 6 (左平移为双射)

对任意 , 由 结合律 与 逆元律 有 , 因此 左平移 的 逆映射 为 .

命题 7 (左正则表示为单射)

设 为 群, 为 的底层 集合 上的 对称群. 则 左正则作用 诱导的 群同态：

为 单射.

证明 8 (左正则表示为单射)

设 为 的 幺元. 若 , 则由 单位律 有 , 因此 为 单射.

命题 9 (任意两点之间存在唯一作用元)

设 在自身上作 左正则作用. 对任意 , 存在唯一的 使得 , 且 .

证明 10 (任意两点之间存在唯一作用元)

存在性

取 . 由 结合律、单位律 与 逆元律 有 .

唯一性

若 亦满足 , 则由 右消除律 得 . 因此满足 的群元唯一.

5. 相关概念

• 群作用
• 平凡作用
• 对称群

6. 术语翻译

中文	英文
左正则作用	left regular action
左平移	left translation